Question

【題目】已知函數，且函數圖像經過點.

（1）當時，求的單調區間；

（2）且函數在區間上有且只有個極值點時，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數在單調遞減，在單調遞增；（2）.

【解析】

（1）由求得的值，再由可得出函數的解析式，進而可求得，然后利用導數可進一步求得函數的單調遞增區間和單調遞減區間；

（2）求得，構造函數，可知函數有兩個變號零點，對實數的取值范圍進行分類討論，利用導數分析函數的單調性，結合題意得出關于的不等式，進而可求得實數的取值范圍.

（1）由題意可得，解得，

易知函數的定義域為，

當時，，，

又，設，則恒成立，

所以，函數在上單調遞增，

又，則當時，即

當時，即.

所以，函數在單調遞減，在單調遞增；

（2）由，可得，且，

設，即，

又，

當時，，此時.

①當時，有，此時在恒成立，

所以，函數在區間上有且只有個極值點，故不滿足題意；

②當時，有，設的兩根為、，

則有，，

故，則時，時，

即函數在上單調遞減，在上單調遞增，

又，故，，

當，即時，函數在無零點，

又在單調遞增，，即函數在區間上有且只有個極值點，故不滿足題意；

當，即時，

則使得，且當時，

當時；當時，

即此時函數在區間上有且只有個極值點，

極值點為和，故滿足題意，

綜上可得，符合條件的的取值范圍為.