Question

【題目】已知.

（1）當時，若恰有一個零點，求實數的取值范圍；

（2）當時，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由解析式確定定義域，當時，表示此時的表達式并求導，利用分類討論參數a，進而分析零點情況；當時，顯然無零點，不符合題意；當時，由零點的存在性定理可證得只有一個零點，符合題意；當時，在單減，在單增，進而只有一個零點即，解得，綜上可得答案；

（2）令，恒成立等價于恒成立，進而利用分類討論思想借助導數表示，求得答案.

定義域：.

（1）當時，，.

①當時，，在單增，，∴在無零點；

②當時，，在單增，又，由，，，∴在恰有一個零點；

③當時，，在單減，在單增，

要使在恰有一個零點，則，解得

綜上所述，若恰有一個零點，則或，即實數的范圍是.

（2）令，

，又，要使在恒成立.

①當時，在單減，在單增，雖然，

但當時，所以在恒成立不成立，不合題意.

②當時，在恒成立，在單增，雖然，

但當時，所以在恒成立不成立，不合題意.

③當時，在恒成立，在單減，所以要使在恒成立的充要條件是，即，解得，故.

綜上所述，實數的范圍是，即實數的范圍.