Question

【題目】如圖，A，B，C，D四點在同一圓上，BC與AD的延長線交于點E，點F在BA的延長線上．

（1）若 = ， =1，求 的值；
（2）若EF2=FAFB，證明：EF∥CD．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A，B，C，D四點共圓，

∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B

∴△EDC∽△EBA，可得 = = ，

∴ =（ ）2，即 =（ ）2

∴ =

（2）解：證明：∵EF2=FAFB，

∴ = ，

又∵∠EFA=∠BFE，

∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，

又∵A，B，C，D四點共圓，

∴∠EDC=∠EBF，

∴∠FEA=∠EDC，

∴EF∥CD．

【解析】（1）根據圓內接四邊形的性質，可得∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，從而△EDC∽△EBA，所以有 = = ，利用比例的性質可得 =（ ）2 ， 得到 = ；（2）根據題意中的比例中項，可得 = ，結合公共角可得△FAE∽△FEB，所以∠FEA=∠EBF，再由（I）的結論∠EDC=∠EBF，利用等量代換可得∠FEA=∠EDC，內錯角相等，所以EF∥CD．