Question

數列{a_n}滿足a₁=0，a₂=2，an+2=(1+cos2

nπ

2

)an+4sin2

nπ

2

，n=1，2，3，…，
（Ⅰ）求a₃，a₄，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設S_k=a₁+a₃+…+a_2k-1，T_k=a₂+a₄+…+a_2k，Wk=

2Sk

2+Tk

(k∈N*)，求使W_k＞1的所有k的值，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知a3=(1+cos2

π

2

)a1+4sin2

π

2

=a1+4=4，a₄=（1+cos²π）a₂+4sin²π=2a₂=4，一般地，當n=2k-1（k∈N^*）時，a_2k+1-a_2k-1=4．因此a_2k-1=4（k-1）．當n=2k（k∈N^*）時，a_2k=2^k．由此可知數列{a_n}的通項公式為an=

2(n-1)，n=2k-1(k∈N*) 2 n 2 ，n=2k(k∈N*)

．
（Ⅱ）由題設知，S_k=a₁+a₃+…+a_2k-1=0+4+…+4（k-1）=2k（k-1），T_k=a₂+a₄+…+a_2k=2+2²+2^k=2^k+1-2，Wk=

2Sk

2+Tk

=

k(k-1)

2k-1

．
由此可知當k≥6時，W_k+1＜W_k．滿足W_k＞1的所有k的值為3，4，5．

解答：解：（Ⅰ）因為a₁=0，a₂=2，所以a3=(1+cos2

π

2

)a1+4sin2

π

2

=a1+4=4，a₄=（1+cos²π）a₂+4sin²π=2a₂=4，一般地，當n=2k-1（k∈N^*）時，a2k+1=[1+cos2

(2k-1)π

2

]a2k-1+4sin2

2k-1

2

π=a2k-1+4，
即a_2k+1-a_2k-1=4．所以數列{a_2k-1}是首項為0、公差為4的等差數列，
因此a_2k-1=4（k-1）．
當n=2k（k∈N^*）時，a2k+2=[1+cos2

2kπ

2

]a2k+4sin2

2k

2

π=2a2k，
所以數列{a_2k}是首項為2、公比為2的等比數列，因此a_2k=2^k．
故數列{a_n}的通項公式為an=

2(n-1)，n=2k-1(k∈N*) 2 n 2 ，n=2k(k∈N*)

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，S_k=a₁+a₃+…+a_2k-1=0+4+…+4（k-1）=2k（k-1），T_k=a₂+a₄+…+a_2k=2+2²+2^k=2^k+1-2，Wk=

2Sk

2+Tk

=

k(k-1)

2k-1

．
于是W₁=0，W₂=1，W3=

3

2

，W4=

3

2

，W5=

5

4

，W6=

15

16

．
下面證明：當k≥6時，W_k＜1．事實上，當k≥6時，Wk+1-Wk=

(k+1)k

2k

-

k(k-1)

2k-1

=

k(3-k)

2k

＜0，
即W_k+1＜W_k．
又W₆＜1，所以當k≥6時，W_k＜1．
故滿足W_k＞1的所有k的值為3，4，5．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．