Question

已知a＞0，數列{an}滿足a1=a，an+1=a+

1

an

，n=1，2，….
（I）已知數列{a_n}極限存在且大于零，求A=

lim

n→∞

an（將A用a表示）；
（II）設bn=an-A，n=1，2，…，證明：bn+1=-

bn

A(bn+A)

；
（III）若|bn|≤

1

2n

對n=1，2，…都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由

lim

n→∞

an存在，且A=

lim

n→∞

an(A＞0)，對an+1=a+

1

an

兩邊取極限得A=a+

1

A

，解得A=

a± a2+4

2

．又A＞0，∴A=

a+ a2+4

2

.
（II）由an=bn+A，an+1=a+

1

an

得bn+1+A=a+

1

bn+A

.由此可知bn+1=-

bn

A(bn+A)

．
（III）令|b1|≤

1

2

，得|a-

1

2

(a+

a2+4

)|≤

1

2

.所以|

1

2

(

a2+4

-a)|≤

1

2

.由此可求出a的取值范圍．

解答：解：（I）由

lim

n→∞

an存在，且A=

lim

n→∞

an(A＞0)，對an+1=a+

1

an

兩邊取極限得A=a+

1

A

，解得A=

a± a2+4

2

．又A＞0，∴A=

a+ a2+4

2

.
（II）由an=bn+A，an+1=a+

1

an

得bn+1+A=a+

1

bn+A

.∴bn+1=a-A+

1

bn+A

=-

1

A

+

1

bn+A

=-

bn

A(bn+A)

.
即bn+1=-

bn

A( b   n +A)

對n=1，2，都成立
（III）令|b1|≤

1

2

，得|a-

1

2

(a+

a2+4

)|≤

1

2

.
∴|

1

2

(

a2+4

-a)|≤

1

2

.
∴

a2+4

-a≤1，解得a≥

3

2

.
現證明當a≥

3

2

時，|bn|≤

1

2n

對n=1，2，都成立.
（i）當n=1時結論成立（已驗證）．
（ii）假設當n=k(k≥1)時結論成立，即|bk|≤

1

2k

，那么|bk+1|=

|bk|

|A(bk+A)|

≤

1

A|bk+A|

×

1

2k

故只須證明

1

A|bk+A|

≤

1

2

，即證A|bk+A|≥2對a≥

3

2

成立.
由于A=

a+ a2+4

2

=

2

a2+4 -a

，
而當a≥

3

2

時，

a2+4

-a≤1，∴A≥2.
∴|bk+A|≥A-|bk|≥2-

1

2k

≥1，即A|bk+A|≥2.
故當a≥

3

2

時，|bk+1|≤

1

2

×

1

2k

=

1

2k+1

.
即n=k+1時結論成立．
根據（i）和（ii）可知結論對一切正整數都成立．
故|bn|≤

1

2n

對n=1，2，都成立的a的取值范圍為[

3

2

，+∞).

點評：本小題主要考查數列、數列極限的概念和數學歸納法，考查靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力．