Question

已知點A（1，1）是橢圓上一點，F₁，F₂是橢圓的兩焦點，且滿足|AF₁|+|AF₂|=4．
（I）求橢圓的兩焦點坐標；
（II）設點B是橢圓上任意一點，如果|AB|最大時，求證A、B兩點關于原點O不對稱．

Answer 1

解：（I）由橢圓定義知：2a=4，
∴a=2
∴
把（1，1）代入得
∴
∴
故兩焦點坐標 為．…（3分）
（II）用反證法：假設A、B兩點關于原點O對稱，則B點坐標為（-1，-1），
此時
取橢圓上一點
∴|AM＞|AB|．
從而此時|AB|不是最大，這與|AB|最大矛盾，所以命題成立． …（7分）
分析：（I）由橢圓定義知：2a=4，把（1，1）代入得求出b，根據進一步求出兩焦點坐標．
（II）用反證法：假設A、B兩點關于原點O對稱，則B點坐標為（-1，-1），此時；再取橢圓上一點得到|AM＞|AB|．即得證．
點評：本題考查橢圓的定義及橢圓中三個參數的關系：c²=a²-b²；考查利用反證法證明命題，屬于中檔題．