Question

已知函數f（x）=ln（1+x）-ax．
（1）討論函數f（x）在定義域內的最值（4分）；
（2）已知數列{a_n}滿足．
①證明對一切n∈N⁺且n≥2，a_n≥2（4分）；
②證明對一切n∈N⁺，a_n＜e³（這里e是自然對數的底數）（6分）．

Answer 1

解：（1）當a≤0時，f（x）在其定義域（-1，+∞）內是增函數，無最值；]
當a＞0時，，由f′（x）=0，，
且時，f'（x）＞0，f（x）在內遞增；時，f′（x）＜0，f（x）在內遞減，
故為f（x）在定義域內的最大值；f（x）在其定義域（-1，+∞）內無最小值
（2）①易用數學歸納法證明．
②當a=1時，由第（1）小題知ln（1+x）＜x對x＞0恒成立，
由①知
所以
所以 ．
顯然a₁，a₂＜e³；因為 lna₁=ln1=0，所以n≥3時，lna_n=（lna_n-lna_n-1）+（lna_n-1-lna_n-2）+…+（lna₂-lna₁）=，
所以 a_n＜e³，綜合知對一切n∈N⁺，a_n＜e³．
分析：（1）當a≤0時，f（x）在其定義域（-1，+∞）內是增函數，無最值．當a＞0時，，由f′（x）=0，，由此能夠得到函數f（x）在定義域內的最值．
（2）①易用數學歸納法證明．②當a=1時，ln（1+x）＜x對x＞0恒成立，由，知，所以．由此能夠推導出對一切n∈N⁺，a_n＜e³．
點評：本題考查數列和函數的綜合運用，解題時要認真審題，仔細分析，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等介轉化．