Question

【題目】已知函數．

（1）時，解關于x的不等式；

（2）若不等式對任意恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）化簡不等式，分類討論去掉絕對值，即可求解，得到答案．

（2）f（x）≤0恒成立時，x29a|x3|≥0恒成立，可分x=3、x＞3和x＜3時，三種情況討論，即可求解，得到答案．

（1）由題意，當a=2時，不等式x2+2|x3|+9≥0，

當x≥3時，（x3）（x+1）≤0，解得1≤x≤3，即x=3；

當x＜3時，不等式可化為（x3）（x+5）≤0，解得5≤x≤3，即5≤x＜3；

綜上所述，不等式的解集為[5，3]．

（2）由f（x）≤0恒成立時，即x29a|x3|≥0恒成立，

①當x=3時，不等式恒成立，∴a∈R；

②當x＞3時，不等式（x3）（x+3a）≥0恒成立，∴x+3a≥0恒成立，∴a≤6；

③當x＜3時，不等式（x3）（x+3+a）≥0恒成立，∴x+3+a≤0恒成立，∴a≤6；

綜上所述，a的取值范圍是（-∞，6]．