Question

【題目】如圖，在四邊形中， .

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若是的角平分線，求的長.

Answer 1

【答案】（1） ； （2）5 .

【解析】

（Ⅰ）由已知及余弦定理可得cos∠B，利用誘導公式即可計算得解cos∠D的值，（Ⅱ）由

已知可得∠DAC=∠BAC，根據正弦定理，結合sin∠B=sin（π﹣∠D）=sin∠D，可求DC=BC

即可得解DC的值．

（Ⅰ）∵在△ABC中，AB=4，BC=5，AC=7，

∴由余弦定理可得cos∠B===﹣，

∵∠B+∠D=π，

∴cos∠D=cos（π﹣∠B）=﹣cos∠B=．

（Ⅱ）∵AC是∠DAB的角平分線，

∴∠DAC=∠BAC，

∴由正弦定理，在△ABC中，有，

在△ADC中，有，

∵sin∠ABC=sin∠DAC，且sin∠B=sin（π﹣∠D）=sin∠D，

∴DC=BC，

∴DC=5．