Question

【題目】已知函數f（x）＝lnx．

（1）若a＝4，求函數f（x）的單調區間；

（2）若函數f（x）在區間（0，1]內單調遞增，求實數a的取值范圍；

（3）若x1、x2∈R+，且x1≤x2，求證：（lnx1﹣lnx2）（x1+2x2）≤3（x1﹣x2）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

(1)將a=4代入f(x)求出f(x)的導函數,然后根據導函數的符號,得到函數的單調區間;

(2)根據條件將問題轉化為在,上恒成立問題,然后根據函數的單調性求出的范圍;

(3)根據條件將問題轉化為成立問題,令,即成立,再利用函數的單調性證明即可.

解:(1)的定義域是,,

所以時,,

由,解得或,

由,解得,

故在和,上單調遞增,在,上單調遞減.

(2)由(1)得,

若函數在區間,遞增,則有在,上恒成立,

即在,上恒成立成立,所以只需,

因為函數在時取得最小值9,所以,

所以a的取值范圍為.

(3)當時,不等式顯然成立,

當時,因為,,所以要原不等式成立,

只需成立即可,

令,則,

由(2)可知函數在,遞增,所以,

所以成立,

所以(lnx1﹣lnx2)(x1+2x2)≤3(x1﹣x2).