Question

【題目】若函數f（x）=ax2﹣（2a+1）x+a+1對于任意a∈[﹣1，1]，都有f（x）＜0，則實數x的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（1，2）
【解析】解：函數可整理為f（x）=（x2﹣x+1）a+1﹣x ∵對于a∈[﹣1，1]時恒有f（x）＜0，
∴（x2﹣x+1）a+1﹣x＜0恒成立．
令g（a）=（x2﹣2x+1）a+1﹣x．
則函數g（a）在區間[﹣1，1]上的最大值小于0，
∵g（a）為一次函數，且一次項系數x2﹣2x+1＞0，
∴函數g（a）在區間[﹣1，1]上單調遞增，
∴g（a）max=g（1）=x2﹣2x+1+1﹣x=x2﹣3x+2＜0．
解得1＜x＜2．
所以答案是：（1，2）．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質，需要了解當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能得出正確答案．