Question

【題目】已知函數， ．

（Ⅰ）求函數的最小值．

（Ⅱ）是否存在一次函數，使得對于，總有，且成立？若存在，求出的表達式；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．

【解析】試題分析：（1）表示出，用導數判斷其單調性，根據單調性即可求出最小值；
（2）由（Ⅰ）知，從而得，于是h（x）可表示為關于k的一次函數，根據f（x）≥h（x）恒成立可求得k值，從而可求得h（x）表達式，再驗證h（x））≥g（x）對一切x＞0恒成立即可；

試題解析：（Ⅰ） 的定義域為， ，

，

易知時， ， 時， ，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

∴當時， 取得最小值為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，

所以，

故可證，代入，

得恒成立，

∴，

∴， ，

設，則，

當時， ，當時， ，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

∴，

即對一切恒成立，

綜上，存在一次函數，使得對于，總有，

且， ．