Question

【題目】設數列{an}滿足a1+a2+…+an+2n= （an+1+1），n∈N* ， 且a1=1，求證：
（1）數列{an+2n}是等比數列；
（2）求數列{an}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵a1+a2+…+an+2n= （an+1+1），

∴當n≥2時，a1+a2+…+an﹣1+2n﹣1= （an+1），

∴an+2n﹣1= ，

化為an+1=3an+2n，

變形為：an+1+2n+1=3 ，

∴數列{an+2n}是等比數列，首項為3，公比為3

（2）

解：由（1）可得：an+2n=3n，

∴an=3n﹣2n，

∴數列{an}的前n項和Sn= ﹣ = ﹣2n+1+ ．

【解析】（1）利用遞推關系、等比數列的通項公式即可得出；（2）利用等比數列的前n項和公式即可得出．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等比關系的確定(等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷)，還要掌握數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)的相關知識才是答題的關鍵．