Question

【題目】已知函數，．

（1）若函數是奇函數，求實數的值；

（2）在在（1）的條件下，判斷函數與函數的圖像公共點個數，并說明理由；

（3）當時，函數的圖象始終在函數的圖象上方，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)1；(2)答案見解析；(3).

【解析】分析：（1）因為為奇函數，所以對于定義域內任意，都有，結合等式成立的條件整理計算可得.

（2）由（1）知，則，函數的定義域，原問題等價于在定義域上的解的個數.結合函數的單調性和函數零點存在定理可知函數與函數的圖象有2個公共點.

（3）原問題等價于在上恒成立，利用換元法，令，則在恒成立.令，.結合二次函數的性質分類討論可得的取值范圍是.

詳解：（1）因為為奇函數，所以對于定義域內任意，都有，

即，

∴，

顯然，由于奇函數定義域關于原點對稱，所以必有.

上面等式左右兩邊同時乘以得：

，

化簡得:，

上式對定義域內任意恒成立，所以必有，

解得.

（2）由（1）知，所以，即，

由得或，

所以函數定義域，

由題意，要求方程解的個數，即求方程：

在定義域上的解的個數.

令，顯然在區間和均單調遞增，

又，，

且，，

所以函數在區間和上各有一個零點，

即方程在定義域上有2個解，

所以函數與函數的圖象有2個公共點.

（3）要使時，函數的圖象始終在函數的圖象的上方，

必須使在上恒成立，

令，則，上式整理得在恒成立.

令，.

① 當，即時，在上單調遞增，

所以，恒成立；

②當，即時，在上單調遞減，

只需，解得與矛盾；

③當，即時，

在上單調遞減，在上單調遞增，

所以由，解得，

又，所以.

綜合①②③得的取值范圍是.