Question

【題目】已知四邊形是矩形，，將沿著對角線AC翻折，得到，設頂點在平面上的投影為O.

（1）若點O恰好落在邊AD上，①求證：平面；②若，，當BC取到最小值時，求k的值；

（2）當時，若點O恰好落在的內部（不包括邊界），求二面角的余弦值的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

由面面垂直的判定定理得平面平面ACD，從而，由線面垂直得，由矩形性質得，由此能證明平面．

作矩形ABMN，使得在MN上，設，，求出y，利用基本不等式，即可求出當BC取到最小值時，k的值；

作，交AC于E，交AD于F，當點O恰好落在的內部不包括邊界，點O恰好在線段EF上，為二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值的取值范圍．

證明：點在平面ABCD上的射影為O，點O恰好落在邊AD上，

平面平面ACD，又，

平面，，

又，

平面．

作矩形ADMN，使得在MN上，

設，，則，

，∽，

，

在Rt中

，

當且僅當時取等號，y有最小值，；

作，交AC于E，交AD于F，

當點O恰好落在的內部不包括邊界，點O恰好在線段EF上，

又，，

為二面角的平面角,

當時，由,可得，且，

，

故二面角的余弦值的取值范圍為