Question

(10)已知函數y=f(x)的圖象與函數y=a^x(a＞0且a=1)的圖象關于直線y=x對稱，

記g(x)=f(x)［f(x)+f(2)-1］．若y=g(x)在區間[，2]上是增函數，則實數a的取值范圍是

 (A)[2，+∞)       (B)(0，1)∪(1，2)       (C)[，1)           (D)(0，]

Answer 1

D

法一.解析:由已知得f(x)=log_ax

∴g(x)=log²_ax+(log_a²-1)log_ax

 

令t=log_ax

 

(ⅰ)0＜a＜1時,t=log_ax在［,2］上單調減

且t∈［log_a²,-log_a²］

∵g(x)在［,2］上是增函數.

∴h(t)=t²+(log²_a-1)t在［log_a²,-log_a²］上單減

 

又h(t)的對稱軸為t=

∴≥-log_a²

 

∴log_a²≥-1

∴0＜a≤

 

(ⅱ)當a＞1時.t=log_ax在［］上遞增.

且t∈［-log_a²,-log_a²］

 

∵g(x)在［］上遞增.

 

∴h(t)=t²+(log_a²-1)t在［-log_a²,-log_a²］上單調增.

 

又h (t)的對稱軸為(1-log_a²)

∴-log_a²≥(1-log_a²)

log_a²≤-1

 

∴2≤     a≤(與a＞1矛盾,舍去).

法二.

解析:∵g(x)在［,2］遞增.

∴必有g(2)≥g()

在A、B、C三選項中對a取特殊值.驗證.均存在使g（2）≥g（）不成立的值,故A、B、C被排除.

∴選D.