Question

（本題共3小題，滿分18分。第1小題滿分4分，第2小題滿分７分，第3小題７分）
對定義在上，并且同時滿足以下兩個條件的函數稱為函數．
① 對任意的，總有；
② 當時，總有成立．
已知函數與是定義在上的函數．
（1）試問函數是否為函數？并說明理由；
（2）若函數是函數，求實數的值；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數，使方程恰有兩解？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當時，總有滿足①……………………………1分
當時，
滿足②………3分
所以函數為函數；………………………………………………………4分
（2）因為函數是函數，根據①有，……………6分
根據②有

…………………………………………………7分
因為，
所以，，其中和不能同時取到，
于是，……………………9分
所以，即，……………10分
于是…………………………………………………………………………11分
另解：因為函數是函數，根據①有，…………6分
根據②有
………………………………8分
取得…………………………………………………………10分
于是…………………………………………………………………………11分
（3）【理科】根據（2）知，原方程可以化為，……………12分
由，……………………………………………………14分
令，則，………………………………………15分
由圖形可知：當時，方程有一解；…………………………………16分
當時，方程無解；…………………………17分
因此，方程不存在兩解。………………………………………………………18分
【文科】根據（2）知，原方程可以化為，…………………12分
由，……………………………………………………14分
令，…………………………………………………………………15分
則，……………………………………………16分
因此，當時，方程有解。……………………………………………18分
 

略