Question

【題目】已知拋物線y2=4x的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點．
（1）若 =3 ，求直線AB的斜率；
（2）設點M在線段AB上運動，原點O關于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由拋物線y2=4x的焦點在x軸上，焦點坐標F（1，0），

設直線AB的方程為：x=my+1，

則 ，整理得：y2﹣4my﹣4=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

由韋達定理可知：y1+y2=4m，y1y2=﹣4，

=（1﹣x1，﹣y1）， =（x2﹣1，y2），

∵ =3 ，

∴﹣y1=3y2，整理得：m2= ，解得：m=± ，

∴直線AB的斜率k= =± ，

直線AB的斜率 或﹣

（2）

解：由（1）可知：丨y1﹣y2丨= = =4 ，

四邊形OACB面積SOACB=2SAOB= 丨OF丨丨y1﹣y2丨=丨y1﹣y2丨=4 ≥4，

當m=0時，四邊形OACB的面積最小，最小值為4．

【解析】（1）由題意可知：設直線AB的方程為：x=my+1，代入拋物線方程，由韋達定理可知：y1+y2=4m，y1y2=﹣4，則 =（1﹣x1 ， ﹣y1）， =（x2﹣1，y2），由 =3 ，﹣y1=3y2 ， 解得：m=± ，即可求得直線AB的斜率；（2）由（1）可知：丨y1﹣y2丨= = =4 ，則四邊形OACB面積SOACB=2SAOB= 丨OF丨丨y1﹣y2丨=丨y1﹣y2丨，即可求得4 ≥4，當m=0時，四邊形OACB的面積最小，最小值為4．