Question

函數的導數為0的點稱為函數的駐點，若點(1,1)為函數f(x)的駐點，則稱f(x)具有“1—1駐點性”.

（1）設函數f(x)=-x+2+alnx，其中a≠0。

①求證：函數f(x)不具有“1—1駐點性”；②求函數f(x)的單調區間

（2）已知函數g(x)=bx³+3x²+cx+2具有“1—1駐點性”，給定x₁，x₂ÎR，x₁＜x₂，設λ為實數，且λ≠-1，α=，β=，若|g(α)-g(β)|＞|g(x₁)-g(x₂)|，求λ的取值范圍.

Answer 1

解：（Ⅰ）①=-1++ ∵=-1+1+a≠0，

∴函數f(x)不具有“1—1駐點性”.…………………………………………2分

②由==

(ⅰ)當a+＜0,即a＜-時，＜0.∴f(x)是(0,+∞)上的減函數；

(ⅱ)當a+=0,即a=-時，顯然≤0.∴f(x)是(0,+∞)上的減函數；………………………………4分

(ⅲ)當a+＞0，即a＞-時，由=0得=±…………………………………………6分

當-＜a＜0時，-＞0∴xÎ(0, a+-)時，＜0;

xÎ( a+-, a++)時，＞0; xÎ( a++, +∞)時，＜0;

當a＞0時，-＜0 ∴xÎ(0, a++)時，＞0; xÎ( a++,+∞)時，＜0;

綜上所述：當a≤-時，函數f(x)的單調遞減區間為(0,+∞)；   

當-＜a＜0時，函數f(x)的單調遞減區間為(0, a+-)和( a++,+∞)，

函數f(x)的單調遞增區間為( a+-, a++)；

當a＞0時,函數f(x)的單調遞增區間為(0, a++)，

函數f(x)的單調遞減區間為( a++, +∞)；…………………………………………9分

（Ⅱ）由題設得：=3bx²+6x+c,∵g(x)具有“1—1駐點性”∴且

即解得∴=-3x²+6x-3=-3(x-1)²≤0，故g(x)在定義域R上單調遞減.

①當λ≥0時，有α=≥=x₁，α=＜=x₂，即αÎ[x₁,x₂),同理βÎ(x₁,x₂] ………11分

由g(x)的單調性可知：g(α)，g(β)Î[ g(x₂),g(x₁)]∴|g(α)-g(β)|≤|g(x₁)-g(x₂)|與題設|g(α)-g(β)|＞|g(x₁)-g(x₂)|不符.

②當-1＜λ＜0時，α=＜=x₁，β=＞=x₂……………………………………13分

即α＜x₁＜x₂＜β∴g(β)＜g(x₂)＜g(x₁)＜g(α)∴|g(α)-g(β)|＞|g(x₁)-g(x₂)|，符合題設

③當λ＜-1時，α=＞=x₂, β=＜=x₁，即β＜x₁＜x₂＜α

∴g(α)＜g(x₂)＜g(x₁)＜g(β)∴|g(α)-g(β)|＞|g(x₁)-g(x₂)|也符合題設………     ……………………15分

由此，綜合①②③得所求的λ的取值范圍是λ＜0且λ≠-1