Question

函數的導數為0的點稱為函數的駐點，若點（1，1）為函數f（x）的駐點，則稱f（x）具有“1-1駐點性”．
（1）設函數f（x）=-x+2

x

+alnx，其中a≠0．
①求證：函數f（x）不具有“1-1駐點性”
②求函數f（x）的單調區間
（2）已知函數g（x）=bx³+3x²+cx+2具有“1-1駐點性”，給定x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，設λ為實數，且λ≠-1，α=

x1+λx2

1+λ

，β=

x2+λx1

1+λ

，若|g（α）-g（β）|＞|g（x₁）-g（x₂）|，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①對函數f（x）=-x+2

x

+alnx求導，驗證f′（1）≠0即可說明函數f（x）不具有“1-1駐點性”；②根據導數的符號和函數單調性的關系，即f′（x）＞0時不等式解集就是函數的單調遞增區間，f′（x）＜0時不等式解集就是函數的單調遞減區間，注意對參數a的討論；
（2）由題設知，函數g（x）得導數g′（x）=g′（x）=3bx²+6x+c，根據g（x）具有“1-1駐點性，求出b，c的值，從而g（x）在R上單調遞減，分①λ≥0②-1＜λ＜0③λ＜-1三種情況討論求解λ得范圍即可

解答：解：（1）①f′（x）=-1+

1

x

+

a

x

∵f′（1）=-1+1+a≠0，
∴函數f（x）不具有“1-1駐點性”．
②由f′（x）=

-x+ x +a

x

=

-( x - 1 2 ) 2+a+  1 4

x

（�。┊攁+

1

4

＜0，即a＜-

1

4

時，f′（x）＜0．∴f（x）是（0，+∞）上的減函數；
（ⅱ）當a+

1

4

=0，即a=-

1

4

時，顯然f′（x）≤0．∴f（x）是（0，+∞）上的減函數
（ⅲ）當a+

1

4

＞0，即a＞-

1

4

時，由f′（x）=0得

x

=

1

2

±

a+ 1 4

當-

1

4

＜a＜0時，

1

2

-

a+ 1 4

＞0
∴x∈（0，a+

1

2

-

a+ 1 4

）時，f′（x）＜0；
x∈（ a+

1

2

-

a+ 1 4

，a+

1

2

+

a+ 1 4

）時，f′（x）＞0； x∈（a+

1

2

+

a+ 1 4

，+∞）時，f′（x）＜0；
當a＞0時，

1

2

-

a+ 1 4

＜0
∴x∈（0，a+

1

2

+

a+ 1 4

）時，f′（x）＞0； x∈（ a+

1

2

+

a+ 1 4

，+∞）時，f′（x）＜0；
綜上所述：當a≤-

1

4

時，函數f（x）的單調遞減區間為（0，+∞）；
當-

1

4

＜a＜0時，函數f（x）的單調遞減區間為（0，a+

1

2

-

a+ 1 4

）和（ a+

1

2

+

a+ 1 4

，+∞），
函數f（x）的單調遞增區間為（ a+

1

2

-

a+ 1 4

，a+

1

2

+

a+ 1 4

）；
當a＞0時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，a+

1

2

+

a+ 1 4

），
函數f（x）的單調遞減區間為（ a+

1

2

+

a+ 1 4

，+∞）
（Ⅱ）由題設得：g′（x）=3bx²+6x+c，
∵g（x）具有“1-1駐點性”∴g（1）=1且g′（1）=0
即

b+3+c+2=1 3b+6+c=0

解得

b=-1 c=-3

∴g′（x）=-3x²+6x-3=-3（x-1）²≤0，故g（x）在定義域R上單調遞減．
①當λ≥0時，α=

x1+λx2

1+λ

≥

x1+λx1

1+λ

=x₁，α=

x1+λx2

1+λ

＜

x2+λx2

1+λ

=x₂，即α∈[x₁，x₂），同理β∈（x₁，x₂]
由g（x）的單調性可知：g（α），g（β）∈[g（x₂），g（x₁）]
∴|g（α）-g（β）|≤|g（x₁）-g（x₂）|與題設|g（α）-g（β）|＞|g（x₁）-g（x₂）|不符．
②當-1＜λ＜0時，α=

x1+λx2

1+λ

＜

x1+λx1

1+λ

=x₁，β=

x2+λx1

1+λ

＞

x2+λx2

1+λ

=x₂
即α＜x₁＜x₂＜β∴g（β）＜g（x₂）＜g（x₁）＜g（α）
∴|g（α）-g（β）|＞|g（x₁）-g（x₂）|，符合題設
③當λ＜-1時，α=

x1+λx2

1+λ

＞

x2+λx2

1+λ

=x₂，β=

x2+λx1

1+λ

＜

x1+λx1

1+λ

=x₁，即β＜x₁＜x₂＜α
∴g（α）＜g（x₂）＜g（x₁）＜g（β）
∴|g（α）-g（β）|＞|g（x₁）-g（x₂）|也符合題設
由此，綜合①②③得所求的λ的取值范圍是λ＜0且λ≠-1

點評：本題主要考查函數的概念、性質、圖象及導數等基礎知識，考查靈活運用數形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力，屬難題．