Question

【題目】已知函數。

（1）討論的單調性；

（2）若的最大值，存在最小值，且，求證：。

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調遞減，當時，在單調遞增，在單調遞減；（2）證明見解析。

【解析】

試題分析：（1）先求，討論和兩種情況，分別令得減區間，得增區間；（2）由（1）可知，且，（為的極值點），由題設，即，將代入上式，得，則。

試題解析：（1）由題設有，當時，在上單調遞減；

當時，列表如下：

		0
	遞增	最大值	遞減

可知，在單調遞增，在單調遞減；

（2）由題設有，

若，在其定義域上單調遞增，無最小值，由（1）可知此時無最大值，故而令，又，

故唯一存在，使得，即，

列表如下

		0
		0
	遞減	最小值	遞增

由（1）可知，且，由題設，即，將代入上式有，化簡得。構造函數，

，易知為單調遞增函數，又，而當，則唯一存在，使得，則當遞減，當，，遞增。又，故只會在有解，而，故（*）的解為，則。