Question

已知在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點，若AB=2，CD=4，EF⊥AB，則EF與CD所成的角的度數(shù)為（　　）

A．90°

B．45°

C．60°

D．30°

Answer 1

分析：設(shè)G為AD的中點，連接GF，GE，利用三角形中位線定理，可證出EF⊥GF且∠FEG或其補角即為EF與CD所成角．最后在Rt△EFG中，利用正弦的定義算出∠GEF=30°，即得EF與CD所成的角的度數(shù)．

解答：解：設(shè)G為AD的中點，連接GF，GE，
則GF，GE分別為△ABD，△ACD的中線．
由此可得，GF∥AB且GF=

1

2

AB=1，
GE∥CD，且GE=

1

2

CD=2，
∴∠FEG或其補角即為EF與CD所成角．
又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF
因此，Rt△EFG中，GF=1，GE=2，
由正弦的定義，得sin∠GEF=

GF

GE

=

1

2

，可得∠GEF=30°．
∴EF與CD所成的角的度數(shù)為30°
故選：D

點評：本題給出空間四邊形相對的棱長，在已知對角線的中點連線與一條棱垂直的情況下求異面直線所成的角，著重考查了是異面直線所成的定義及其求法等知識，屬于中檔題．本題利用三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．