Question

已知在四面體ABCD中，AC=BD，而且AC⊥BD，E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點．
求證：四邊形EFGH是正方形．

Answer 1

分析：先證四邊形EFGH是平行四邊形，再證EF=EH，EF⊥EH，可得四邊形EFGH是正方形．

解答：證明：∵E，F分別是邊AB，BC的中點，
∴EF是△ABC的中位線．
∴EF∥AC，EF=

1

2

AC．
同理HG∥AC，HG=

1

2

AC．
∴EF∥HG，EF=HG．
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
∵AC=BD，EH=

1

2

BD，∴EF=EH．
∵AC⊥BD，EH∥BD，
∴EF⊥EH．
∴四邊形EFGH是正方形．

點評：本題考查了平行公理，線線垂直的證明及確定平面的條件．