Question

已知O為坐標原點，點A（2，1），B（1，2），對于k∈N^*有向量

OPk

=k

OB

+

OA

，
（1）試問點P_k是否在同一條直線上，若是，求出該直線的方程；若不是，請說明理由；
（2）是否在存在k∈N^*使P_k在圓x²+（y-2）²=5上或其內部，若存在求出k，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用向量的線性運算即可證明；
（2）先判斷直線與圓的位置關系，進而即可得出結論．

解答：解：（1）點P_k（k∈N^*）在同一條直線上，直線方程為y=2x-3．
證明如下：設P_k（x_k，y_k），則（x_k，y_k）=k（1，2）+（2，1），
∴

xk=k+2 yk=2k+1

，
∴y_k=2x_k-3．
∴點P_k在直線y=2x-3上．
（2）由圓x²+（y-2）²=5的圓心（0，2）到直線y=2x-3的距離為

|-2-3|

5

=

5

=r，
可知直線與圓相切，∴直線與圓及內部最多只有一個公共點．
聯立

y=2x-3 x2+(y-2)2=5

解得

x=2 y=1

．
∴切點的坐標為：（2，1），此時k=0不滿足題意，所以不存k∈N^*滿足題意．

點評：熟練掌握向量的線性運算和直線與圓的位置關系的判定方法是解題的關鍵．