Question

已知函數f(x)＝－x3＋x2－2x(a∈R)．

(1)當a＝3時，求函數f(x)的單調區間；

(2)若對于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a－1)成立，求實數a的取值范圍；

(3)若過點可作函數y＝f(x)圖象的三條不同切線，求實數a的取值范圍．

 

Answer 1

(1) 單調遞增區間為 ，單調遞減區間為 和；(2) ；(3)

【解析】

試題分析：(1)求導，令導數大于0得增區間令導數小于0得減區間。(2) 對于任意都有成立，轉化為對于任意都有。求時可根據求導求單調性求最值，也可直接根據二次函數問題求其單調區間再求其最值。(3)先在曲線上任取一點，根據導數的幾何意義求其過此點的切線的斜率，再用點斜式求切線方程。將代入直線方程。分析可知此方程應有3個不同的解。將上式命名新函數，用單調性求此函數的極值點可知一個極值應大于0，另一個極值應小于0.

試題解析：(1)當時，函數，

得． 1分

所以當時，，函數f(x)單調遞增； 2分

當x＜1或x＞2時，，函數f(x)單調遞減． 3分

所以函數的單調遞增區間為 ，單調遞減區間為 和 ．4分

(2)由，得， 5分

因為對于任意都有成立，

所以問題轉化為對于任意都有． 6分

因為，其圖象開口向下，對稱軸為.

①當，即時，在上單調遞減，

所以，

由，得，此時. 7分

②當，即時，在上單調遞增，在上單調遞減，

所以，

由，得，此時. 8分

綜上可得，實數的取值范圍為 ． 9分

(3)設點是函數圖象上的切點，

則過點的切線的斜率， 10分

所以過點P的切線方程為， 11分

因為點在該切線上，

所以，

即.

若過點可作函數圖象的三條不同切線，

則方程有三個不同的實數解． 12分

令，則函數的圖象與坐標軸橫軸有三個不同的交點．

令，解得或.

因為，， 13分

所以必須，即.

所以實數的取值范圍為 ． 14分

考點：1導數及導數的幾何意義；2用導數分析函數的單調性；3用單調性求極值、最值。