Question

已知非零向量列{a_n}滿足：a₁=（1，1），且a_n=（x_n，y_n）=（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1） （n＞1，n∈N），令|a_n|=b_n．
（Ⅰ）證明：數列{b_n}是等比數列，并求{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）對n∈N*，設c_n=b_nlog₂b_n，試問是否存在正整數m，使得c_m＜c_m+1？若存在，請求出m的最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）要證數列b_n為等比數列，利用了等比數列的定義，由題意找數列b_n和相鄰項b_n+1的比為常數，并利用等比數列通項公式求其通項
（II）由題意應先求出c_n，由題意在建立c_n與c_n+1之間的不等關系，利用作差的等價轉化思想求解關于m不等式，再利用m的范圍逼出m的最小值
解答：（I）證明：b_n=|a_n|=，
b_n+1=|a_n+1|=，
∴（常數），
∴{b_n}是等比數列，其中b₁=|a₁|=，公比，
∴．（5分）

（II）∵，
∴，
于是=，（8分）
∵，
∴要使c_m+1＞c_m，只須使，即，
解得．（11分）
∵m是正整數，
∴m≥5，m∈N^*，
∴m的最小值為5．（12分）
點評：（I）此問重在考查等比數列的定義及等比數列的通項公式
（II）此處重在考查了對數的運算性質進而準確求出c_n的通項，之后又考查了建立m的不等式及解不等式