Question

已知圓O：(x+

3

)2+y2=16，點A(

3

，0)，Q是圓上一動點，AQ的垂直平分線交OQ于點M，設點M的軌跡為E．
（I）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點P（1，0）的直線l交軌跡E于兩個不同的點A、B，△AOB（O是坐標原點）的面積S=

4

5

，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4＞2

3

，所以軌跡E是以A，C為焦點，長軸長為4的橢圓，由此能求出軌跡E的方程．
（2）記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設AB：x=my+1，由

x2+4y2=4 x=my+1

，得：（4+m²）y²+2my-3=0，由此能求出直線AB的方程．

解答：（1）解：（1）由題意|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4＞2

3

，
所以軌跡E是以A，C為焦點，長軸長為4的橢圓，…（2分）
即軌跡E的方程為

x2

4

+y2=1．…（4分）
（2）解：記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意，直線AB的斜率不可能為0，
故可設AB：x=my+1，
由

x2+4y2=4 x=my+1

，消x得：（4+m²）y²+2my-3=0，
所以

y1+y2= -2m+ 4m2+12(4+m2) 2(4+m2) + -2m- 4m2+12(4+m2) 2(4+m2) = -2m 4+m2 y1•y2= -2m+ 4m2+12(4+m2) 2(4+m2) • -2m- 4m2+12(4+m2) 2(4+m2) =- 3 4+m2

…（7分）
S=

1

2

|OP||y1-y2|=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

2 m2+3

m2+4

．…（9分）
由S=

4

5

，解得m²=1，即m=±1．…（10分）
故直線AB的方程為x=±y+1，
即x+y-1=0或x-y-1=0為所求．…（12分）

點評：本題考查軌跡方程的求法和直線方程的求法，考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．