Question

已知圓O：x²+y²=4，動點P（t，0）（-2≤t≤2），曲線C：y=3|x-t|．曲線C與圓O相交于兩個不同的點M，N
（1）若t=1，求線段MN的中點P的坐標；
（2）求證：線段MN的長度為定值；
（3）若t=

4

3

，m，n，s，p均為正整數．試問：曲線C上是否存在兩點A（m，n），B（s，p）（11），使得圓O上任意一點到點A的距離與到點B的距離之比為定值k（k＞1）？若存在請求出所有的點A，B；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將曲線C的方程代入圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用中點坐標公式即可求得P的坐標；
（2）利用將曲線C的方程代入圓的方程，消去y得到的方程，結合根與系數的關系，利用兩點間的距離公式即可求出線段MN的長度為定值；
（3）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在兩點A（m，n），B（s，p）（11），使得圓O上任意一點到點A的距離與到點B的距離之比為定值，再建立等式求出A，B的坐標，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁＜1＜x₂），P（x₀，y₀）
由

x2+y2=4 y=3|x-1|

⇒10x2-18x+5=0，
所以x0=

x1+x2

2

=

9

10

，y0=

y1+y2

2

=

3(x2-x1)

2

=

3 (x1+x2)2-4x1x2

2

=

31

5

所以p(

9

10

，

31

5

)---------------------------（6分）
（2）MN2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=8-2x1x2-2y1y2，

x2+y2=4 y=3|x-t|

⇒10x2-18tx+9t2-4=0，
x1+x2=

9t

5

，x1

x

2

=

9t2-4

10

，
y1y2=9(t-x1)(x2-t)=9[-t2+t(x1+x2)-x1x2]=-

9t2

10

+

18

5

，
MN2=

8

5

，MN=

2 10

5

為定值．---------------------------------（4分）
（3）設p(x0，y0)，

x

2 0

+

y

2 0

=4，

(x0-m)2+(y0-n)2 (x0-s)2+(y0-t)2 =k(k＞1)⇒ 4+m2+n2-2mx0-2ny0=k2[4+s2+p2-2sx0-2py0]

?

2m=k22s 2n=k22p 4+m2+n2=k2(4+s2+p2)

消去m，n得s2+p2=

4

k2

＜4
所以s=p=1，k=

2

，此時m=n=2，又A（2，2），B（1，1）在曲線C上
所以僅有A（2，2），B（1，1）符合．----------------------------------------（6分）

點評：本小題主要考查中點坐標公式、兩點間的距離公式極值、導數、直線與圓的位置關系等基本知識，考查方程思想、化歸以及數形結合等數學思想方法，考查分析問題、解決問題的能力．