【題目】已知函數(shù)
.
討論
極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
若有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：的極大值大于
.
【答案】
當(dāng)
時(shí)，
無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)
時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)
時(shí)，只有一個(gè)極值點(diǎn)；
證明見解析.
【解析】
求導(dǎo)得
，再分類討論
，，三種情況，即可得出結(jié)果；
由知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，
，
，所以
，則在
內(nèi)為增函數(shù)，在
內(nèi)為減函數(shù)，在
內(nèi)為增函數(shù)，所以的極大值點(diǎn)為
.由
，得
，所以
，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而求證的極大值大于
.
解：的定義域?yàn)?/span>
，.
令
，
，
當(dāng)時(shí)，
，故無(wú)極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，
，設(shè)，
是方程的兩根
，則，
，
則當(dāng)時(shí)，
，所以只有一個(gè)極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn).
綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)極值點(diǎn).
證明：由知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，，，所以，
則在內(nèi)為增函數(shù)，在內(nèi)為減函數(shù)，在內(nèi)為增函數(shù)，所以的極大值點(diǎn)為.
由，得，所以
.
令
，其中
，則
，
當(dāng)
時(shí)，
，
在
上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，
，所以的極大值大于.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣2|的最大值為M，正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b＝M．
（1）求2a2+b2的最小值；
（2）求證：aabb≥ab．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（1）若函數(shù)
在
處的切線方程
，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若函數(shù)在
和
兩處得極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若
．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某外賣平臺(tái)為提高外賣配送效率，針對(duì)外賣配送業(yè)務(wù)提出了兩種新的配送方案，為比較兩種配送方案的效率，共選取50名外賣騎手，并將他們隨機(jī)分成兩組，每組25人，第一組騎手用甲配送方案，第二組騎手用乙配送方案.根據(jù)騎手在相同時(shí)間內(nèi)完成配送訂單的數(shù)量（單位：?jiǎn)危├L制了如下莖葉圖：
（1）根據(jù)莖葉圖，求各組內(nèi)25位騎手完成訂單數(shù)的中位數(shù)，已知用甲配送方案的25位騎手完成訂單數(shù)的平均數(shù)為52，結(jié)合中位數(shù)與平均數(shù)判斷哪種配送方案的效率更高，并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)所有50名騎手在相同時(shí)間內(nèi)完成訂單數(shù)的平均數(shù)
，將完成訂單數(shù)超過(guò)記為“優(yōu)秀”，不超過(guò)記為“一般”，然后將騎手的對(duì)應(yīng)人數(shù)填入下面列聯(lián)表；
優(yōu)秀 | 一般 | |
甲配送方案 | ||
乙配送方案 |
（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷能否有
的把握認(rèn)為兩種配送方案的效率有差異.
附：
，其中
.
| 0.05 | 0.010 | 0.005 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線
的參數(shù)方程為
（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為
．
（1）求直線的普通方程以及曲線C的參數(shù)方程；
（2）過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)M作與直線的夾角為
的直線，交于點(diǎn)N，求
的最小值
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在三棱錐
中，
，
，平面
平面
，點(diǎn)
在棱
上.
若為的中點(diǎn)，證明：
.
若
與平面
所成角的正弦值為
，求
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f(x)
sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)為偶函數(shù)，且y=f(x)圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為
，則f(
)的值為（ ）
A.﹣1B.1C.
.D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】FEV1（一秒用力呼氣容積）是肺功能的一個(gè)重要指標(biāo).為了研究某地區(qū)10～15歲男孩群體的FEV1與身高的關(guān)系，現(xiàn)從該地區(qū)A、B、C三個(gè)社區(qū)10～15歲男孩中隨機(jī)抽取600名進(jìn)行FEV1與身高數(shù)據(jù)的相關(guān)分析.
（1）若A、B、C三個(gè)社區(qū)10～15歲男孩人數(shù)比例為1：3：2，按分層抽樣進(jìn)行抽取，請(qǐng)求出三個(gè)社區(qū)應(yīng)抽取的男孩人數(shù).
（2）經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理后，得到該地區(qū)10～15歲男孩身高
(cm)與FEV1
(L)對(duì)應(yīng)的10組數(shù)據(jù)
，并作出如下散點(diǎn)圖：
經(jīng)計(jì)算得：
，
，
，
，的相關(guān)系數(shù)
.
①請(qǐng)你利用所給公式與數(shù)據(jù)建立關(guān)于的線性回歸方程，并估計(jì)身高160cm的男孩的FEV1的預(yù)報(bào)值
.
②已知若①中回歸模型誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為
，則該地區(qū)身高160cm的男孩的FEV1的實(shí)際值落在
，
內(nèi)的概率為
.現(xiàn)已求得
，若該地區(qū)有兩個(gè)身高160cm的12歲男孩M和N，分別測(cè)得FEV1值為2.8L和2.3L，請(qǐng)結(jié)合概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)對(duì)兩個(gè)男孩的FEV1指標(biāo)作出一個(gè)合理的推斷與建議.
附：樣本
的相關(guān)系數(shù)
，其回歸方程
的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為
，
，
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】設(shè)
是公差不為零的等差數(shù)列，滿足
，
，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，且
．
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）在
和
之間插入1個(gè)數(shù)
，使、、成等差數(shù)列；在和
之間插入2個(gè)數(shù)
、
，使、、、成等差數(shù)列；
；在
和
之間插入個(gè)數(shù)
、
、、
，使、、、、、成等差數(shù)列．
① 求
；
② 對(duì)于①中的
，是否存在正整數(shù)
、，使得
成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對(duì)
；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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