Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形， .已知， .

（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）若為上一點，記三棱錐的體積和四棱錐的體積分別為和，當時，求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（1）連接AC交BD于O點，由BD⊥AC，BD⊥OP得出BD⊥平面PAC，故PC⊥BD；（2）由（1）知平面平面，過點作，交于，則平面，

∴， 分別是三棱錐和四棱錐的高.從而根據體積比得到長度比的值.

試題解析：

（Ⅰ）證明：連接交于點

∵，∴

又∵是菱形，∴

而，∴平面，且平面

∴

（Ⅱ）由條件可知： ，∴

∵，∴，∴

由（Ⅰ）知， 平面， 平面，

∴，∴平面，

∴平面平面

過點作，交于，則平面，

∴，∴分別是三棱錐和四棱錐的高.

又，

由，得，所以

又由

同時， ，∴.

點睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略

(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解．

(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉換法、分割法、補形法等方法進行求解．

(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解．