Question

（2008•溫州模擬）（理科）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，在正方體的表面上與點A距離為

2 3

3

的點的集合形成一條曲線，則這條曲線的長度為

5 3

6

π

．

Answer 1

分析：本題首先要弄清楚曲線的形狀，再根據(jù)曲線的性質(zhì)及解析幾何知識即可求出長度．

解答：解：由題意，此問題的實質(zhì)是以A為球心、

2 3

3

為半徑的球在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁各個面上交線的長度計算，正方體的各個面根據(jù)與球心位置關(guān)系分成兩類：ABCD、AA₁DD₁、AA₁BB₁為過球心的截面，截痕為大圓弧，各弧圓心角為

π

6

、A₁B₁C₁D₁、B₁BCC₁、D₁DCC₁為與球心距離為1的截面，截痕為小圓弧，由于截面圓半徑為r=

3

3

，故各段弧圓心角為

π

2

．∴這條曲線長度為3•

π

6

•

2 3

3

+3•

π

2

•

3

3

=

5 3

6

π
故答案為

5 3

6

π

點評：本題以正方體為載體，考查軌跡，考查曲線的周長，有一定的難度．