Question

已知函數f（x）=（x²-3x+3）•e^x．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）當t＞-2時，判斷f（-2）和f（t）的大小，并說明理由；
（3）求證：當1＜t＜4時，關于x的方程：

f′(x)

ex

=

2

3

（t-1）²在區間[-2，t]上總有兩個不同的解．

Answer 1

分析：（1）求導函數，由導數的正負，即可確定函數的單調性；
（2）根據t的取值進行分類討論，結合（1）的結論，得f（x）在x=1處取得極小值f（1）=e，根據f（-2）=13e^-2＜e，從而當t＞-2時，f（-2）＜f（t），即可判斷f（-2）和f（t）的大小；
（3）將方程

f′(x)

ex

=

2

3

（t-1）²等價轉化為g（x）=x²-x-

2

3

(t-1)2=0在區間[-2，t]上有兩個不同的解，根據零點的存在性定理，結合二次函數的單調性，即可證得結論．

解答：解：（1）∵f（x）=（x²-3x+3）•e^x，
∴f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x=（x²-x）e^x，
令f′（x）＞0，即（x²-x）e^x＞0，解得x＜0或x＞1，
令f′（x）＜0，即（x²-x）e^x＜0，解得0＜x＜1，
∴函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，0），（1，+∞），單調遞減區間為（0，1）；
（2）∵t＞-2，
①當t∈（-2，0]時，
∵f（x）在（-∞，0]單調遞增，∴f（t）＞f（-2），
②當t∈（0，+∞）時，∵f（x）在[0，1]單調遞減，在[1，+∞）單調遞增，
∴f（t）所能取得的最小值為f（1）與f（-2）的最小值，
∵f（1）=e，f（-2）=13e^-2，f（1）＞f（-2），
∴當t∈（0，+∞）時，f（t）＞f（-2）
綜上可知：當t＞-2時，f（t）＞f（-2）；
（3）

f′(x)

ex

=

2

3

（t-1）²即x²-x=

2

3

（t-1）²，
考慮函數g（x）=x²-x-

2

3

(t-1)2，
g（-2）=6-

2

3

(t-1)2=-

2

3

（t+2）（t-4）＞0，g（1）=-

2

3

（t-1）²＜0，
g（t）=t²-t-

2

3

(t-1)2=

1

3

（t²+t-2）=

1

3

（t+2）（t-1）＞0，
∴g（x）在區間[-2，1）、（1，t）分別存在零點，
又由二次函數的單調性可知：g（x）最多存在兩個零點，
∴關于x的方程：

f′(x)

ex

=

2

3

（t-1）²在區間[-2，t]上總有兩個不同的解．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，導數的正負對應著函數的增減．利用導數研究函數問題時，經常會運用分類討論的數學思想方法．屬于中檔題．