Question

（2012•寶山區(qū)一模）如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是BB₁，CD的中點(diǎn)．
（1）求三棱錐E-AA₁F的體積；
（2）求異面直線EF與AB所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

分析：（1）首先求出S_△AA1E=

1

2

S_{正方形A1B1BA}=2，然后通過證明CD∥平面A₁B₁BA和BC⊥平面A₁B₁BA，得到BC就是F到平面A₁B₁BA的距離，也是三棱錐E-AA₁F的高，最后可用錐體體積公式，求出三棱錐E-AA₁F的體積；
（2）連接EC，可得∠EFC（或其補(bǔ)角）即為異面直線EF與AB所成角．在Rt△EBC中，F(xiàn)C=

1

2

CD=1，EC=

5

，利用正切在直角三角形中的定義得tan∠EFC=

EC

FC

=

5

，即得異面直線EF與AB所成角的大小是arctan

5

．

解答：解：（1）∵正方形A₁B₁BA中，E為BB₁的中點(diǎn)
∴三角形AA₁E的面積S_△AA1E=

1

2

S_{正方形A1B1BA}=

1

2

×2²=2
又∵CD∥AB，CD?平面A₁B₁BA，AB?平面A₁B₁BA，
∴CD∥平面A₁B₁BA，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，BC⊥平面A₁B₁BA，
∴BC即為直線CD到平面A₁B₁BA的距離，即F到平面A₁B₁BA的距離為2，
∴三棱錐E-AA₁F的體積為V=

1

3

×S_△AA1E×2=

4

3

…（6分）
（2）連接EC，因?yàn)锳B∥CD，所以∠EFC（或其補(bǔ)角）即為異面直線EF與AB所成角，…（9分）
∵CF⊥平面C₁B₁CB，EC?平面C₁B₁CB，
∴CF⊥CE
在Rt△EBC中，EC=

BC2+EB2

=

5

，
∵Rt△EBC中，F(xiàn)C=

1

2

CD=1，…（10分）
∴tan∠EFC=

EC

FC

=

5

，可得∠EFC=arctan

5

…（13分）
即異面直線EF與AB所成角的大小是arctan

5

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題在正方體中求三棱錐的體積并求異面直線所成的角，著重考查了空間直線與平面的位置關(guān)系和異面直線所成角的求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．