Question

【題目】若數列滿足則稱為數列.記

（1）若為數列,且試寫出的所有可能值；

（2）若為數列，且求的最大值；

（3）對任意給定的正整數是否存在數列使得？若存在，寫出滿足條件的一個數列；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，見解析.

【解析】

（1）根據題意，則或，分析后可得符合條件的數列；

（2）由于由于為數列，且故n必須是不小于3的奇數. 使最大的，可以讓數列先逐漸增大1，到中間位置后再逐漸減小1，由等差數列的前項和公式可得；

（3）令，則，用表示有,求出

，

是偶數，，則是偶數，或（），可分別求得結論．

（1）滿足條件的數列，及對應的分別為：

（i） 0, 1, 2，1, 0. (ii) 0, 1, 0，1, 0.

（iii） 0, 1, 0，-1, 0. (iv) 0, -1, -2，-1, 0.

（v） 0, -1, 0，-1, 0 . (vi) 0, -1, 0, 1, 0.

因此，的所有可能值為：

(2) 由于為數列，且

故n必須是不小于3的奇數.

于是使最大的為：

這里 并且

因此， （n為不小于3的奇數）

（3）令，則于是由得

故

因為，故為偶數，

所以為偶數，

于是要使，必須為偶數，即為4的倍數，亦即

或

（i）當時，數列的項在滿足：

時，

(ii)當時，數列的項在滿足：

時，