Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，記A（n）=a₁+a₂+……+a_n，B（n）=a₂+a₃+……+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+……+a_n+2，n=1,2，……
（1）若a₁=1，a₂=5，且對任意n∈N﹡，三個數A（n），B（n），C（n）組成等差數列，求數列{ a_n }的通項公式.
（2）證明：數列{ a_n }是公比為q的等比數列的充分必要條件是：對任意，三個數A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數列.

Answer 1

（1）
（2）見解析

解（１）對任意,三個數是等差數列，所以即亦即
故數列是首項為１，公差為４的等差數列.于是
（Ⅱ）（１）必要性：若數列是公比為ｑ的等比數列，則對任意，有
由知，均大于０，于是


即＝＝，所以三個數組成公比為的等比數列.
（２）充分性：若對于任意，三個數組成公比為的等比數列，
則，
于是得即
由有即，從而.
因為，所以，故數列是首項為，公比為的等比數列，
綜上所述，數列是公比為的等比數列的充分必要條件是：對任意n∈N﹡，三個數組成公比為的等比數列.
【點評】本題考查等差數列、等比數列的定義、性質及充要條件的證明.第一問由等差數列定義可得；第二問要從充分性、必要性兩方面來證明，利用等比數列的定義及性質易得證.