Question

【題目】四棱錐中， ，且平面， ， ， 是棱的中點(diǎn).

（1）證明： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）取中點(diǎn)，連接、，四邊形是平行四邊形，通過(guò)證明面ACD,來(lái)證明平面。（2）取中點(diǎn)，過(guò)N點(diǎn)做BE的平行線為y軸，NB,NA分別為x,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求二面角的余弦值。

試題解析：（1）取中點(diǎn)，連接、，

∵是中點(diǎn)，∴，且.

又因?yàn)?/span>，∴.又∵，∴，∴四邊形是平行四邊形.∴，又，∴是等邊三角形，∴，∵平面， ，∴平面，∴，∴平面，∴平面.

（2）取中點(diǎn)，則， 平面，以為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

各點(diǎn)坐標(biāo)為， ， ， ， ， .

可得， ， ， ；

設(shè)平面的法向量，則得，

取，

設(shè)平面的法向量，則得，

取，

于是 ，

注意到二面角是鈍角，因此，所求二面角的余弦值就是.