Question

將圓按向量a=（－1，2）平移后得到⊙O，直線l與⊙O相交于A、B兩點，若在⊙O上存在點C，使 =λa，求直線l的方程及對應的點C的坐標．

Answer 1

直線l的方程為2x－4y＋5＝0，對應的C點的坐標為（－1，2）；或直線l的方程為2x－4y－5＝0，對應的C點的坐標為（1，－2）．

解析:

圓化為標準方程為，

按向量a＝（－1，2）平移得⊙O方程為 x²＋y²＝5．

∵＝λa，且||＝||，∴⊥，∥a．

∴k_AB＝．設直線l的方程為y＝x＋m，聯立，得

將方程（1）代入（2），整理得5x²＋4mx＋4m²－20＝0．（※）

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

        x₁＋x₂＝－，y₁＋y₂＝，＝（－，）．

因為點C在圓上，所以，解之，得．

此時，（※）式中的△＝16m²－20(4m²－20)＝300＞0．

所求的直線l的方程為2x－4y＋5＝0，對應的C點的坐標為（－1，2）；或直線l的方程為2x－4y－5＝0，對應的C點的坐標為（1，－2）．