Question

（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知三點A（-1，0），B（1，0），，以A、B為焦點的橢圓經過點C。
（I）求橢圓的方程；
（II）設點D（0，1），是否存在不平行于x軸的直線與橢圓交于不同兩點M、N，使
？若存在，求出直線斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由：
（III）對于y軸上的點P（0，n），存在不平行于x軸的直線與橢圓交于不同兩點M、N，使，試求實數n的取值范圍。

Answer 1

（1）（2）不存在（3）

（I）設橢圓方程為，
據知，

∴所求橢圓方程為                                             …………4分
（II）
∴若存在符合條件的直線，該直線的斜率一定存在，
否則與點D（0，1）不在x軸上矛盾。
∴可設直線
由得
由 …………6分
設，
MN的中點為
則
又

解得：                                                             …………8分
（將點的坐標代入亦可得到此結果）
由得，
這是不可能的。
故滿足條件的直線不存在。                                                   …………9分
（III）據（II）有
可推出要使k存在，只需
的取值范圍是          …………12分