Question

【題目】已知數列的前項的和為，記．

（1）若是首項為，公差為的等差數列，其中，均為正數．

①當，，成等差數列時，求的值；

②求證：存在唯一的正整數，使得．

（2）設數列是公比為的等比數列，若存在，（，，）使得，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①②見解析（2）

【解析】

先寫出的表達式．

寫出，，，列出等式求解．

等價于，是一個固定的數，當時，區間互不相交，且并集為，所以n存在且唯一．

先將等式化成基本量表示的形式，有，設出函數，當時，，又，從而找出r，t的值，再解出q．

（1）①因為，，成等差數列，

所以，即，

解得，．

②由，得,

整理得，解得,

由于且．

因此存在唯一的正整數，使得．

（2）因為，所以．

設，，．

則,

因為，，所以，

所以，即，即單調遞增．

所以當時，，

則，即，這與互相矛盾．

所以，即．

若，則,

即，與相矛盾．

于是，所以，即．

又，所以．