Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線在處的切線的斜率為2，求函數的單調區間；

（2）若函數在區間上有零點，求實數的取值范圍.（是自然對數的底數，）

Answer 1

【答案】（1）函數的單調增區間為，單調減區間為（2）

【解析】

（1）求導，由導數的結合意義可求得，進而得到函數解析式，再解關于導函數的不等式即可得到單調區間；
（2）對進行分類討論，利用導數，結合零點的存在性定理建立不等式即可求解．

（1）函數的定義域為，

，

則，所以，

此時，定義域為，，

令，解得；令，解得；

所以函數的單調增區間為，單調減區間為.

（2）函數在區間上的圖象是一條不間斷的曲線.

由（1）知，

1）當時，對任意，，，則，所以函數在區間上單調遞增，此時對任意，都有成立，從而函數在區間上無零點；

2）當時，令，得或，其中，

①若，即，則對任意，，所以函數在區間上單調遞減，由題意得，且，解得，其中，即，

所以的取值范圍是；

②若，即，則對任意，，所以函數在區間上單調遞增，此時對任意，都有成立，從而函數在區間上無零點；

③若，即，則對任意，；所以函數在區間上單調遞增，對任意，都有成立；

對任意，，函數在區間上單調遞減，由題意得

，解得，

其中，即，

所以的取值范圍是.

綜上可得，實數的取值范圍是.