Question

（理）已知函數f（x）=x²+aln（x+1）．
（1）若函數f（x）在定義域內既有極大值又有極小值，求實數a的取值范圍；
（2）證明：a=1時，對于任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁≠x₂，都有；
（3）是否存在最小的正整數N，使得當n≥N時，不等式恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）若函數f（x）在定義域內既有極大值又有極小值，即函數f（x）在定義域內有兩個不等的實根，根據二次方程根的個數與△的關系可構造關于a的不等式組，解出實數a的取值范圍；
（2）將a=1代入可得函數f（x）解析式，構造函數，分析函數g（x）在[1，+∞）上的單調性，進而根據單調性的定義可得結論；
（3）構造函數h（x）=x³-x²+ln（x+1），利用導法分析函數的單調性，進而得到使不等式恒成立的最小的正整數N．
解答：解：（1）∵函數f（x）在定義域內既有極大值又有極小值，
∴在（-1，+∞）有兩個不等實根，
即2x²+2x+a=0在（-1，+∞）有兩個不等實根，…（2分）
設F（x）=2x²+2x+a，則，
解之得；             …（4分）
證明：（2）a=1時，f（x）=x²+ln（x+1），
令，…（6分）
則，
當x≥1時，g′（x）≥0，所以函數g（x）在[1，+∞）上是增函數．              …（8分）
由已知，不妨設1≤x₁＜x₂＜+∞，則g（x₁）＜g（x₂），
所以，即；                 …（10分）
（3）令函數h（x）=x³-x²+ln（x+1），…（12分）
則，
當x∈[0，+∞）時，h′（x）＞0，函數h（x）在[0，+∞）上單調遞增．            …（14分）
又h（0）=0，所以當x∈（0，+∞）時，恒有h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＞x²-x³恒成立．
取，則有恒成立，
故存在最小的正整數N=1，使得當n≥N時，不等式恒成立．…（16分）
點評：本題考查的知識點是函數在某點取得極值的條件，利用函數研究函數的單調性，恒成立問題，是導數的綜合應用，難度較大，構造合適的函數是解答的關鍵．