Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，底邊AB上有且只有一點M使得平面D₁DM⊥平面D₁MC．
（1）求異面直線C₁C與D₁M的距離；
（2）求二面角M-D₁C-D的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根據面與面垂直得到線與面垂直，有DH⊥MC，滿足條件的M只有一個，以CD為直徑的圓必與AB相切，切點為M，M為的AB中點，得到MC為異面直線CC₁與D₁M的公垂線段．
（2）取CD中點E，連接ME，得到線面垂直，做出二面角的平面角，在直角三角形中，根據三角函數的定義，得到要求角的三角函數值．

解答：解：（1）證明：過D作DH⊥D₁M于H
∵平面D₁DM⊥平面D₁MC且平面D₁DM∩平面D₁MC=D₁M
∴DH⊥平面D₁MC
∴DH⊥MC
又∵MC⊥D₁D
∴MC⊥平面D₁DM
∴MC⊥DM
又∵滿足條件的M只有一個
∴以CD為直徑的圓必與AB相切，
切點為M，M為的AB中點
∴

1

2

CD=AD
∴CD=2
∵MC⊥平面D₁DM，
∴MC⊥D₁M
又∵CC₁⊥MC，所以MC為異面直線CC₁與D₁M的公垂線段
CM的長度為所求距離

2

（2）取CD中點E，連接ME，則ME⊥平面D₁CD
過M作MF⊥D₁C于F，連接EF，則EF⊥CD₁
∴∠MFE為二面角的平面角
又∵ME=1，MF=

30

5

在RT△MEF中sin∠MFE=

30

6

點評：本題是一個立體幾何的綜合題目，在解題過程中注意異面直線之間的距離的證法和求法，這是本題的難點．