Question

已知在長方體ABCD-A′B′C′D′中，點E為棱CC′上任意一點，AB=BC=2，CC′=1．
（Ⅰ）求證：平面ACC′A′⊥平面BDE；
（Ⅱ）若點P為棱C′D′的中點，點E為棱CC′的中點，求二面角P-BD-E的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AC⊥BD，由CC'⊥平面ABCD得到BD⊥CC'，從而證出BD⊥平面ACC'A'，再根據(jù)面面垂直判定定理，即可得到平面ACC′A′⊥平面BDE；
（II）建立如圖所示空間直角坐標系，可得B、D、E、P各點的坐標，從而得出

DB

、

DE

、

DP

的坐標，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法，建立方程組解出

m

=(1，-1，4)是平面BDE的一個法向量，

n

=(1，-1，1)是平面PBD的一個法向量，根據(jù)空間向量的夾角公式加以計算，即可得到二面角P-BD-E的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，
∵CC'⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥CC'．
又∵CC'∩AC=C，∴BD⊥平面ACC'A'．
∵BD?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ACC'A'，即平面ACC′A′⊥平面BDE；
（Ⅱ）建立分別以DA、DC、DD'為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．
可得D（0，0，0），B（2，2，0），E（0，2，

1

2

），P（0，1，1）．
設(shè)平面BDE的一個法向量為

m

=(x，y，z)，
∵

DB

=(2，2，0)，

DE

=(0，2，

1

2

)，
∴

m • DB =2x+2y=0 m • DE =2y+ 1 2 z=0

，取x=1，得y=-1且z=4．
可得

m

=(1，-1，4)；
設(shè)平面PBD的一個法向量為

n

=(m，n，p)，
∵

DP

=(0，1，1)，∴

n • DB =2m+2n=0 n • DP =n+p=0

取m=1，得n=-1且p=1，可得

n

=(1，-1，1)．
∵cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

6

3

，且二面角P-BD-E是銳二面角，
∴二面角P-BD-E的余弦值為

6

3

．

點評：本題在特殊的長方體中證明線面垂直、面面垂直，并求二面角的余弦之值．著重考查了長方體的性質(zhì)、空間垂直位置關(guān)系的判斷與證明、利用空間向量研究平面與平面所成角的大小等知識，屬于中檔題．