Question

已知直線l與x軸正方向、y軸正方向交于A，B兩點，M，N是線段AB的三等分點，橢圓C經過M，N兩點．
（1）若直線l的方程為2x+y-6=0，求橢圓C的標準方程；
（2）若橢圓的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，其離心率e∈（0，

1

2

），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為M，N是線段AB的三等分點在坐標軸上，由橢圓標準方程列式求得a、b的值，進而求得橢圓方程；
（2）先設A（m，0），B（0，n），（m＞0，n＞0），根據分點坐標公式求出M，N的坐標，再就橢圓的焦點在x軸和y軸上分類討論，結合設而不求的方法即可求出直線l的斜率k的取值范圍．

解答：解：（1）依題意A（3，0），B（0，6），
∵M、N是線段AB的三等分點，∴不妨記M（1，4），N（2，2）…（3分）
設橢圓方程為ax²+by²=1（a＞0，b＞0，a≠b），
則

4a+4b=1 a+16b=1

，解得

b= 1 20 a= 1 5

，…（6分）
∴橢圓方程為

y2

20

+

x2

5

=1．                                  …（7分）
（2）設A（m，0），B（0，n），（m＞0，n＞0），則M（

m

3

，

2n

3

），N（

2m

3

，

n

3

），
…（8分）
①當焦點在x軸上時，設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則

m2 9a2 + 4n2 9b2 =1 4m2 9a2 + n2 9b2 =1

，
∴

a2= 5 9 m2 b2= 5 9 n2

，得

n2

m2

=

b2

a2

=

a2-c2

a2

=1-e2，…（11分）
又∵k=-

n

m

，e∈(0，

1

2

)，
∴k∈（-1，-

3

2

）；                …（13分）
②當焦點在y軸上時，同法可得k∈（-

2 3

3

，-1），
綜上k∈（-1，-

3

2

）∪（-

2 3

3

，-1）．                    …（16分）

點評：本題考查了橢圓標準方程的定義和求法，橢圓的幾何意義，及直線與橢圓的關系，方程思想和分類討論思想，設而不求解決問題，屬基礎題．