Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣ω，ω）內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=ω對(duì)稱，則ω的值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵f（x）=sinωx+cosωx= sin（ωx+ ）， ∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣ω，ω）內(nèi)單調(diào)遞增，ω＞0
∴2kπ﹣ ≤ωx+ ≤2kπ+ ，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[ ， ]，k∈Z，
∴可得：﹣ω≥ ①，ω≤ ②，k∈Z，
∴解得：0＜ω2≤ 且0＜ω2≤2k ，k∈Z，
解得：﹣ ，k∈Z，
∴可解得：k=0，
又∵由ωx+ =kπ+ ，可解得函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為：x= ，k∈Z，
∴由函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=ω對(duì)稱，可得：ω2= ，可解得：ω= ．
故答案為： ．
由兩角和的正弦函數(shù)公式化簡解析式可得f（x）= sin（ωx+ ），由2kπ﹣ ≤ωx+ ≤2kπ+ ，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合已知可得：﹣ω≥ ①，ω≤ ②，k∈Z，從而解得k=0，又由ωx+ =kπ+ ，可解得函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為：x= ，k∈Z，結(jié)合已知可得：ω2= ，從而可求ω的值．