Question

（1）設，試比較與的大小；

（2）是否存在常數，使得對任意大于的自然數都成立？若存在，試求出的值并證明你的結論；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ），利用放縮法證明

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設，則，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

故函數有最小值，則恒成立      4 分

（Ⅱ）取進行驗算：

猜測：①，

②存在，使得恒成立。        6分

證明一：對，且，

有

又因，

故                  8分

從而有成立，即

所以存在，使得恒成立              10分

證明二：

由（1）知：當時，，

設，，

則，所以，，，

當時，再由二項式定理得：

即對任意大于的自然數恒成立，          8分

從而有成立，即

所以存在，使得恒成立              10分

考點：本題考查了導數的運用及不等式的證明

點評：證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法。在證明時,關鍵在于分析待證不等式的結構與特征,選用適當的方法完成不等式的證明