Question

【題目】如圖，為信號源點，、、是三個居民區，已知、都在的正東方向上，，，在的北偏西45°方向上，，現要經過點鋪設一條總光纜直線（在直線的上方），并從、、分別鋪設三條最短分支光纜連接到總光纜，假設鋪設每條分支光纜的費用與其長度的平方成正比，比例系數為1元/，設，（），鋪設三條分支光纜的總費用為（元）.

（1）求關于的函數表達式；

（2）求的最小值及此時的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），.

【解析】

(1)對直線的斜率是否存在分類討論，求出三點到直線的距離，鋪設三條分光纜的總費用即可求關于的函數表達式；
(2)由（1）中的表達式利用換元法，利用基本不等式，可求的最小值及此時的值．

(1) 以點位坐標原點，為軸建立直角坐標系,

則，

當直線的斜率不存在，即時，

三點到直線的距離分別為10，20，5

所以此時=,

當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，,

三點到直線的距離分別為:，

所以

.

所以

(2) 當直線的斜率不存在時，=,

當直線的斜率存在時，

設，

當即時，=.

當即時，.

因為當時(當且僅當時取等號)

當時, (當且僅當時取等號)

所以的最小值為

此時.