Question

已知二次函數f（x）=x²-ax+a（a≠0），不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素，設數列{a_n}的前n項和為S_n=f（n）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設各項均不為0的數列{c_n}中，滿足c_i•c_i+1＜0的正整數i的個數稱作數列{c_n}的變號數，令cn=1-

a

an

(n∈N*)，求數列{c_n}的變號數．

Answer 1

分析：（1）由題設條件知a²-4a=0?a=4，故f（x）=x²-4x+4．a_n=S_n-S_n-1=（n-2）²-（n-3）²=2n-5，所以an=

1(n=1) 2n-5(n≥2)

．
（2）由題可得，cn=

-3n=1 1- 4 2n-5 n≥2

，由此入手能夠求出數列{c_n}的變號數．

解答：解：（1）由于不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素，∴△=a²-4a=0?a=4，
故f（x）=x²-4x+4．（2分）
由題S_n=n²-4n+4=（n-2）²，
則n=1時，a₁=S₁=1；n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（n-2）²-（n-3）²=2n-5
故an=

1(n=1) 2n-5(n≥2)

，．（6分）
（2）由題可得，cn=

-3n=1 1- 4 2n-5 n≥2

由c₁=-3，c₂=5，c₃=-3，所以i=1，i=2都滿足c_i•c_i+1＜0，（8分）
當n≥3時，c_n+1＞c_n，且c4=-

1

3

，同時1-

4

2n-5

＞0?n≥5，
可知i=4滿足c_ic_i+1＜0；n≥5時，均有c_nc_n+1＞0．∴滿足c_ic_i+1＜0的正整數i=1，2，4，故數列{c_n}的變號數）．（12分）

點評：本題考查數列知識的綜合運用，解題時要注意公式的靈活運用．