Question

已知橢圓的左、右焦點為F₁，F₂，且離心率為．
（1）若過F₁的直線交橢圓E于P，Q兩點，且，求直線PQ的斜率；
（2）若橢圓E過點（0，1），且過F₁作兩條互相垂直的直線，它們分別交橢圓E于A，C和B，D，求四邊形ABCD面積的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的第二定義，構建三角形，求得三邊長，即可求得直線PQ的斜率；
（2）求出橢圓方程，當AC為2a，DB⊥x軸時，面積有最大值，最大值為2；當兩條直線斜率都存在時，求出AC，BD的長，表示出四邊形ABCD面積為S=|AC||BD|，利用基本不等式，即可求得結論．
解答：解：（1）設橢圓的左準線為l，作PD⊥x軸于D，作PN⊥l于N，由第二定義得|PN|=|PF₁|．
作QM⊥l于M，得|QM|=|F₁Q|=|PF₁|，
作QE⊥PN于E，交軸于點A得|EP|=4|AF₁|=|PF₁|，
∴|F₁D|=3|AF₁|=|PF₁|，
∴|PD|=|PF₁|，
∴直線PQ的斜率為±=；
（2）由題意，b=1，又，∴a=2，b=1，c=，
∴橢圓方程為．
∵DB、AC為過焦點的兩條直線，∴當AC為2a，DB⊥x軸時，面積有最大值，最大值為2；
當兩條直線斜率都存在時，F₁（-，0），設直線AC的方程為y=k（x-）
與橢圓聯立消去y，（）x²-x+3k²-1=0
設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=
∴|AC|=|x₁-x₂|==
同理可得|BD|=，
∴四邊形ABCD面積為S=|AC||BD|=×
令t=，則t≥2，∴S=×=2×=2（1-）
∵t≥2，∴，∴≤S＜2
∴四邊形ABCD面積最小值為．
點評：本題考查橢圓的第二定義，考查直線與橢圓的位置關系，考查四邊形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．