Question

如圖，橢圓C：焦點在x軸上，左、右頂點分別為A₁、A，上頂點為B，拋物線C₁、C₂分別以A、B為焦點，其頂點均為坐標原點O．C₁與C₂相交于直線上一點P．
（Ⅰ）求橢圓C及拋物線C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）若動直線l與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同兩點M、N，已知點，0），求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知，A（a，0），，故拋物線C₁的方程可設為y²=4ax，C₂的方程為．由此能求出橢圓C：，拋物線C₁：y²=16x，拋物線C₂：．
（Ⅱ）由直線OP的斜率為，知直線l的斜率為，設直線l方程為，由消去y，整理得，再由根的判別式和韋達定理進行求解．
解答：解：（Ⅰ）由題意知，A（a，0），故拋物線C₁的方程可設為y²=4ax，C₂的方程為
則，得a=4，
所以橢圓C：，拋物線C₁y²=16x：，拋物線C₂：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線OP的斜率為，所以直線l的斜率為，
設直線l方程為
由消去y，整理得
因為直線l與橢圓C交于不同兩點，所以△=128b²-20（8b²-16）＞0，
解得
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，
因為，，
所以=
因為，所以當時，取得最小值，
其最小值等于
點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．